Add LaTex formulas and proper pictures

Author: nifadyev

pictures/ticket14-1.png

@@ -1,6 +1,6 @@
 # Экзаменационный билет №14
 
-## 1.Алгоритм обхода иерархического списка (итератор).
+## 1.Алгоритм обхода иерархического списка (итератор)
 
 Печать текста: схема обхода
 
@@ -11,13 +11,13 @@
 ```C++
 while (1)
 {
-   if ( pLink != NULL )
+   if (pLink != NULL)
    {
        cout << pLink->Str; // обработка звена
        St.push(pLink); // запись в стек
        pLink = pLink->pDown; // переход на подуровень
    }
-   else if ( St.empty() )
+   else if (St.empty())
        break;
    else
    {
@@ -84,23 +84,25 @@ bool TText::GoNext(void) // Переход к следующему звену т
 }
 ```
 
-## 2. Пример использования стеков: преобразование арифметических выражений в польскую форму записи.
+## 2. Пример использования стеков: преобразование арифметических выражений в польскую форму записи
 
-Формат записи выражения.
+Формат записи выражения:
 
 - Выражение синтаксически правильно (без ошибок)
-- Допускаются только однобуквенные идентификаторы для операндо
+- Допускаются только однобуквенные идентификаторы для операндов
 - В записи выражения нет пробелов
-- Dыражение заканчивается знаком `'='`: `A+(B-C)*D-F/(G+H)=`.
+- Выражение заканчивается знаком `'='`: `A+(B-C)*D-F/(G+H)=`
 
 Алгоритм:
 
-1.  Для операций вводится приоритет:`'*' '/' (3), '+' '-' (2), '(' (1), '=' (0)`,
-2.  Для хранения данных используется 2 стека (1 – для результата, 2 – для операций),
-3.  Исходное выражение просматривается слева направо,
-4.  Операнды по мере их появления помещаются в стек 1 ,
-5.  Символы операций и левые скобки помещаются в стек 2,
-6.  При появлении правой скобки последовательно изымаются элементы из стека 2 и переносятся в стек 1. Данные действия продолжаются либо до опустошения стека 2 либо до попадания в стеке 2 на левую скобку,
-7.  Если текущая операция, выделенная при обходе выражения, имеет меньший (более низкий) приоритет, чем операция на вершине стека 2, то такие операции из стека 2 переписываются в стек 1.
+1.  Для операций вводится приоритет:`'*' '/' (3), '+' '-' (2), '(' (1), '=' (0)`
+2.  Для хранения данных используется 2 стека (1 – для результата, 2 – для операций)
+3.  Исходное выражение просматривается слева направо
+4.  Операнды по мере их появления помещаются в стек 1
+5.  Символы операций и левые скобки помещаются в стек 2
+6.  При появлении правой скобки последовательно изымаются элементы из стека 2 и переносятся в стек 1. Данные действия продолжаются либо до опустошения стека 2 либо до попадания в стеке 2 на левую скобку
+7.  Если текущая операция, выделенная при обходе выражения, имеет меньший (более низкий) приоритет, чем операция на вершине стека 2, то такие операции из стека 2 переписываются в стек 1
+
+Пусть выражение имеет вид: A + (B - C) * D - F / (G + H)=
 
 ![](../pictures/ticket14-1.png)

pictures/ticket16-1.png

@@ -1,30 +1,64 @@
 # Экзаменационный билет №16
 
-## 1.Адаптивная оценка параметров модели в ходе выполнения программ (на примере системы управления несколькими стеками).
+## 1.Адаптивная оценка параметров модели в ходе выполнения программ (на примере системы управления несколькими стеками)
+
+- Пусть ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Csigma) есть число перепаковок памяти за некоторый отрезок времени ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5CDelta%20t)
+- Величина ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Csigma) зависит от ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Ctheta) и для повышения эффективности функционирования системы следует определить такое ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Ctheta), чтобы число перепаковок было минимально, т.е. ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Cmin_%7B%5Ctheta%7D%20%5Csigma%20%28%5Ctheta%29)
+
+<!-- ![](../pictures/ticket16-1.png) -->
+
+Схема определения оптимального значения ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Ctheta):
+- Выполняется оценка величины ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Csigma) на последовательных друг за другом отрезках времени ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5CDelta%20t)
 
 ![](../pictures/ticket16-1.png)
 
-![](../pictures/ticket16-2.png)
+- Определяется величина изменения числа выполненных перепаковок: ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5CDelta%5Csigma%20%3D%20%5Csigma%27%20-%20%5Csigma)
+- Применяется следующее правило корректировки значения ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Ctheta)
+
+![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Ctheta%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Ctheta%20&plus;%20%5CDelta%5Ctheta%2C%20%5CDelta%5Csigma%20%5Cleq%200%20%5C%5C%20%5Ctheta%20-%20%5CDelta%5Ctheta%2C%20%5CDelta%5Csigma%20%3E%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
+
+где ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5CDelta%5Ctheta) - параметр схемы адаптации
+
+## 2. Оценка сложности обработки деревьев поиска. Понятие сбалансированных и идеально сбалансированных деревьев поиска
+
+**Идеально сбалансированное дерево** - дерево, у которого для каждого его узла количество узлов в левом и правом поддеревьях различаются не более чем на 1.
+
+**Сбалансированное дерево** - дереао, у которого для каждого узла высота левого и правого поддеревьев различаются не более,чем на 1(АВЛ-деревья).
+
+Идеально сбалансированные деревья являются сбалансированными.
+Операции обработки сбалансированных деревьев имеют **сложность** log2N.(поиск, вставка, удаление)
+
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20T_%7Bmin%7D%20%3D%201)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20T_%7Bmax%7D%3Dlog2N) (при сбалансированном дереве)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20T_%7Bmax%7D%3DN) (при вырожденном дереве)
+
+- Пусть даны N различных ключей со значениями 1,...N и появление любого ключа равновероятно.
+- Пусть первый ключ равен i. Левое поддерево будет содержать (i - 1) узлов, правое поддерево - (n - i) узлов.
+![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20a_N%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20a%5Ei_N) - средняя длина пути дерева с N узлами,
+где ![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20a%5Ei_N) - средняя длина пути в дереве, в котором корень равен i.
+
+![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20a%5Ei_N%20-%20%28a_%7Bi-1%7D%20&plus;%201%29%5Cfrac%7Bi-1%7D%7BN%7D%20&plus;%201%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20&plus;%20%28a_%7BN-i%7D&plus;1%29%5Cfrac%7BN-1%7D%7BN%7D)
+
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20a_N%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20a%5Ei_N%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%28%28a%5Ei_%7Bi-1%7D&plus;1%29%5Cfrac%7Bi-1%7D%7BN%7D%20&plus;%201%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20&plus;%20%28a_%7BN-i%7D&plus;1%29%5Cfrac%7BN-i%7D%7BN%7D%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%28N%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%5B%28i-1%29a_%7Bi-1%7D%20&plus;%20%28n-i%29a_%7BN-i%7D%5D%29%20%3D%201%20&plus;%20%5Cfrac%7B2%7D%7BN%20*%20N%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%28i-1%29a_%7Bi-1%7D%20%3D%201%20&plus;%20%5Cfrac%7B2%7D%7BN%20*%20N%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%20%3D%201%7Dia_i)
+
+Из последнего выражения следует:
+
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%281%29%20a_N%20%3D%201%20&plus;%20%5Cfrac%7B2%7D%7BN%20*%20N%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%20%3D%201%7Dia_i%20%3D%201%20&plus;%20%5Cfrac%7B2%7D%7BN%20*%20N%7D%28N-1%29a_%7BN-1%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7B2%7D%7BN%20*%20N%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%20%3D%202%7Dia_i)
 
-## 2. Оценка сложности обработки деревьев поиска. Понятие сбалансированных и идеально сбалансированных деревьев поиска.
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%282%29%20a_%7BN-1%7D%20%3D%201%20&plus;%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%28N-1%29%20*%20%28N-1%29%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%20%3D%202%7Dia_i) умножим на  ![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%28%28N-1%29/N%29%5E2)
 
-Дерево является идеально сбалансированным если для каждого его узла количество узлов в левом и правом поддеревьях различаются не более чем на 1.
-Дерево является сбалансированным,если для каждого узла высота левого и правого поддеревьев различаются не более,чем на 1(АВЛ-деревья).
-Идеально сбалансированные деревья являются сбалансированными.Операции обработки сбалансированных деревьев имеют сложность log2N.(поиск,вставка,удаление)
-Тmin=1
-Tmax=log2N(при сбалансированном дереве)
-Tmax=N(при вырожденном дереве)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%283%29%5Cfrac%7B2%7D%7BN%20*%20N%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%20%3D%202%7Dia_i%20%3D%28%5Cfrac%7BN-1%7D%7BN%7D%29%5E2%28a_%7BN-1%7D-1%29) подставим (3) в (1)
 
-![](../pictures/ticket16-3.png)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%284%29a_N%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7BN%20*%20N%7D%28%28N%5E2-1%29a_%7BN-1%7D%20&plus;%202N%20-1%29)
 
-![](../pictures/ticket16-4.png)
+Отсюда можно получить (проверяется подстановкой):
 
-![](../pictures/ticket16-5.png)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20a_N%20%3D%202%5Cfrac%7BN&plus;1%7D%7BN%7DH_N-3%2C%20H_N%20%3D%201%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20&plus;%20%5Cdots%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D)
 
-![](../pictures/ticket16-6.png)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20H_N%20%3D%20%5Cgamma%20&plus;%20lnN%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7B12N%5E2%7D%20&plus;%20%5Cdots) (формула Эйлера, ![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Cgamma%20%5Ccong%200%2C577))
 
-![](../pictures/ticket16-7.png)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%28N%20%3E%3E%201%29%20%5CRightarrow%20a_N%20%5Ccong%202%5BlnN%20&plus;%20%5Cgamma%5D%20-%203%20%3D%202lnN%20-%20c)
 
-![](../pictures/ticket16-8.png)
+Пусть ![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20a%5E*_N%20%3D%20log_2N) есть средняя длина пути для идеально сбалансированного дерева
 
-![](../pictures/ticket16-9.png)
+![](https://latex.codecogs.com/svg.latex?%5Clarge%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Ba_N%7D%7Ba%5E*_N%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2lnN%7D%7Blog_2N%7D%20%3D%202ln2%20%3D%201%2C386)